Evo, da dopunim onaj moj prethodni post.
Prvo, obrazloženje zašto uopšte posmatramo onu relaciju
i politope. Izaberimo bilo koje
. Posmatrajmo sada sve skupove od po
brojeva na koje će definisanje broja
imati uticaja:
.
Jasno je da se svaki od ovih skupova može dobiti multiplikativnom translacijom bilo kog drugog navedenog skupa. Ali sada moramo da definišemo f-ju i u svim preostalim navedenim tačkama, što nas opet vraća na generisanje novih
-torki (koje se opet mogu dobiti translacijom ovih postojećih). A za samu translaciju dovoljno je da množimo (odnosno delimo) samo sa prostim brojevima ne većim od
.
Neka je
prost broj i neka je kao i obično
f-ja definisana na
.
Ako uzmemo kao u mom prethodnom postu da je
skup prvih
prostih brojeva, onda definišimo multiplikativnu grupu generisanu skupom
tj. neka je
.
Sada primetimo da prilikom svake translacije politopa
(pri čemu je
) "za" broj
dobijamo novi politop koji će imati zajedničkih temena sa prethodnim, ali će (a to je bitnije) imati i barem jedno novo teme. Evo barem jednog novog temena: neka je
neka je
teme politopa kod koga je
ako je translirano za
odnosno
ako se radi o translaciji za
. Lako je videti da za celo
translati za
i
nemaju zajedničkih temena. A u slučaju kada je
onda pomenuti translati imaju barem po jedno teme koje se nije "pojavilo" ni u jednom translatu za
gde je
i
.
Dakle, nakon inicijalnog definisanja f-je u temenima osnovnog politopa, svaka njegova elementarna translacija imaće neprazan skup novih temena pa ćemo moći da f-ju dodefinišemo u njima tako da f-ja zadovolji traženi uslov na translatu.
Najzad smo spremni da krenemo na glavni deo.
Potreban nam je neki algoritam koji će nam translacijom "prošetati" osnovni politop
po svim preostalim politopima (sa temenima iz iste klase ekvivalencije) ali tako da preko svakog pređemo
tačno jednom.
Neka je operator
translacija za
(
) i neka je
. Od sada pa na dalje za "kretanje" po hiperprostoru koristićemo nizove pomenutih translacija:
. Znači prvih
vrednosti za
biće
,
,
,
,
,
,
,
.
Ideja je da definisanje f-je izvršimo induktivno, i sada bi ovde lepo legla priča preko ordinala i afinih potprostora, koju ću ja pokušati da formalno (ali ne i suštinski
) izbegnem.
Već smo uočili da svaki politop možemo predstaviti u obliku,
, pri čemu je
. Dakle, broju
odgovaraju koordinate
. Da bismo pratili "kretanje" politopa
dovoljno je da pratimo koordinate broja
. Evo kojim redom će se vršiti dodefinisanje:
,
,
,
,
...
,
,
,
,
...
,
,
,
,
...
Dakle, u prvom koraku držimo fiksirane koordinate
(
) a za svako
šetamo
. Kada to završimo (joj šta bi
Kroneker rek'o za ovo
) onda stavimo da je
i
za
a opet prošetamo
za svako
. Zatim, stavimo da je
i
za
a opet prošetamo
itd.
Mislim da je jasna šema: ako je izvršeno potpuno definisanje f-je za politope kod kojih je
za sve
i
za
onda definišemo f-ju (rekurentno po dužini
početnog dela
-torke) i u svakom politopu kod koga je
i
za
.
Da zaključimo: za sve je kriv
Farenhajt da me nije prozvao - ne bih nikog ni mučio sa ovako "elegantnim" idejama
Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.