Pođi od Čebiševljevih polinoma prve vrste, koji kažu da se
može izraziti kao polinom n-tog stepena s celobrojnim koeficijentima po argumentu
(a to nije teško ni dokazati ako pođeš od
, pa ovaj poslednji izraz razviješ po binomnom obrascu i izdvojiš realni deo)
Sad imamo da je
. Dakle,
je racionalan ako i samo ako je racionalan
. Pretpostavimo da je ovaj drugi broj racionalan. Tada će i broj
biti racionalan, jer se može predstaviti kao polinom s celobrojnim koeficijentima od racionalnog argumenta
. Međutim,
. Dakle,
ne može biti racionalan, te je i
iracionalan.