Kada hocemo da nad nekom duzi AB konstruisemo trougao ABC tako da je CA:CB = m:n (m i n su neke date duzi), nad tom duzi AB konstruisemo Apolonijev krug. Svaka tacka tog kruga sa duzi AB gradi trougao takav da je CA:CB = m:n. Koji je dokaz da svaka tacka Apolonijevog kruga ima tu osobinu? Pokusavao sam i ne uspeva mi. Hvala unapred.
Pa ovako:
Nadm se da znas da ga konstruises.Neka je AX proivoljna prava (X pripada
A.krugu).E je presek CX sa pravom p(p sadrzi B).F je presek XD sa p.
AX:XB=m:n akko X pripada k.
1.
Neka je AX:XB=m:n.Tada je AX/XB=m/n=AC/CB=AX/BE,pa je XB=BE=BF.EXB je
pravougli.ugao CXD je prav ugao,pa X pripada A krugu.
2.
Neka X pripada k.Tada je ugao EXD prav(nad precnikom CD),pa je
BE=BX=BF.Po Talesu je:
AX/XB=AX/EB=AC/CB=M/N.
Malo mi je nejasno koja je koja tacka u tvom objasnjenju. Zato sam nacrtao sliku i upload-ovao je (m i n su date duzi, p i q proizvoljne paralelne prave koje sadrze A i B) pa bih te zamolio da na njoj oznacis sta je sta.