1. Moguća su četiri slučaja:
a) Prva cifra je 1, dve od preostalih 9 su takođe 1, ostalo su 0. Takvih ima
=36;
b) Prva cifra je 1, jedna od preostalih 9 je 2, ostalo su 0. Takvih ima 9;
c) Prva cifra je 2, jedna od preostalih 9 je 1, ostalo su 0. Takvih ima 9;
d) Prva cifra je 3, ostalo su 0. Takav postoji 1.
Ukupno 36+9+9+1=55.
3. Označimo proizvode po vrstama sa
, a proizvode po kolonama sa
. Pretpostavimo da je
. Tada tačno 2005 od tih 4010 sabiraka mora biti jednako 1, a preostalih 2005 mora biti jednako -1. Označimo sa
broj negativnih
-brojeva, a sa
broj negativnih
-brojeva. Prema prethodno rečenom,
.
Ako izmnožimo sve
-brojeve, dobićemo proizvod svih brojeva u tabeli, a taj proizvod očito iznosi
. Slično, ako izmnožimo sve
-brojeve, opet dobijamo proizvod svih brojeva u tabeli, a u tom slučaju taj proizvod iznosi
.
Međutim, brojevi
i
ne mogu biti jednaki, jer je njihov proizvod
. Kontradikcija.
4. Pošto
, sledi da
. Stoga
. Kada bi broj
bio prost, moralo bi da važi
To je, međutim, nemoguće jer je
(pošto
, a
) i
(pošto
, a
).
5. Neka je AM=BN=d, neka su uglovi trougla
, neka je F središte stranice AB, neka je CK visina trougla ABC, neka simetrala ugla ACB seče pravu PQ u tački R i neka prava PQ, ukoliko nije paralelna pravoj AB, seče ovu u tački T (pri označavanju će se podrazumevati da je A između T i B). Tada je FQ srednja linija trougla ABM, pa je FQ=AM/2=d/2, a FP je srednja linija trougla ABN, pa je FP=BN/2=d/2. Dakle, trougao FPQ je jednakokrak. Pošto je
QFB=
CAB=
i
PFA=
CBA=
, sledi da je
PFQ=
, pa je
QPF=
. Pošto je to istovremeno spoljašnji ugao trougla PTF, sledi da je
PTF=
QPF-
PFT=
. S druge strane,
ACK=
, a
ACR=
, pa je
KCR=
ACR-
ACK=
. Sledi da su uglovi PTF i KCR jednaki, pa pošto su im kraci CK i AB uzajamno normalni, takvi moraju biti i kraci CR i PQ.
Ako tačka T ne postoji, tj. ako je prava PQ paralelna pravoj AB, sledi da je
QPF=
PFA, tj.
odn.
. Dakle, trougao ABC je jednakokrak s temenom u C, pa mu je visina na osnovicu istovremeno i simetrala temenog ugla, te je u tom slučaju simetrala ugla ACB normalna na pravu PQ jer je normalna i na pravu AB.
[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 25.12.2005. u 09:15 GMT+1]